Kedves Matyas!
>>Ez az egyhangusag az, ami nagyon zavar engem. Igy valojaban az egesz
>>algoritmust helyettesiteni lehet egy olyan allitassal, hogy az azonos, de
>>nem nulla szamjegyekbol allo sorozatok nem elemei a megszamlalhato
>>halmaznak, hiszen az algoritmus ugy is ezt a szamsorozatot fogja
>>eloallitani.
>Egy "emberileg normalis" megszamlalasi probalkozas eseteben a tetel
>bizonyitasa ellenpeldakent varhatoan valoban egy ilyen szamot fog
>eloallitani. De ha valaki ennek tanulsagakent pont ugy probalja
>megszamlalni a valos szamokat, hogy ezek benne legyenek, akkor
>maskeppen. Szoval egy ilyen kijelentes praktikusan lehet, hogy
>elfogadhato, de matematikai allitasnak es fokeppen a tetel
>bizonyitasanak nem kielegito.
Igen. Szamomra is ez tunt a legtamadhatobb pontnak a levezetesemben, es
sajnos sikerult is elsulyesztenem a cafolatomat azáltal, hogy talaltam egy
olyan modosito algoritmust, amely egy 'emberileg normalis' egyszeru
megszamlalasbol egy kulonleges sorozatot hoz letre. Ezzel viszont Cantor
atlos bejarasa irracionalis szamot produkal. Ehhez nem szukseges minden
atlobeli elemet nullatol kulonbozove tenni, ami valoban lehetetlen lenne,
hanem elegendo peldaul minden olyan helyierteket, amely egesz szam
faktorialisa, tehat az 1,2,6,24,120,720,... helyiertekek sorozatat. Ehhez
az algoritmushoz elegendo az adott n (=k!) sorszamhoz elerve egy olyan m.
elemet elore hozni, amelynek n.helyierteke nem nulla. Az n. es m-1.
szamokat eggyel eltoljuk, hogy helyet csinaljunk az m. szam n. helyre
hozasanak. Mivel a faktorialis gyors novekedese miatt ezek a modositasok
eleg ritkak, a megszamlalhatosagot nem befolyasoljak. Az atlos bejarassal
igy eloallo szamban a 1,2,6,24,120, ... helyiertekek fognak kulonbozni a
tobbitol, igy ez a szam irracionalis, sot transzcendens lesz (ugyneveztett
Liouville fele szam), igy semmi meglepo nincs benne, ha ez nem
megszamlalhato. Igy hat megszuntek szamomra azok a zavaro tenyezok, amik a
valos szamok megszamlalhatatlansagat bizonyito Cantor-fele atlosbejarast
gyanussa tettek a szememben. Ebben persze nem csak enyem az erdem.
Ezenkivul annyi tovabbi haszna is volt az oknyomozasnak, hogy kozben
elokerultek mas kenyes temak is, mint a valos szamok, es a racionalis
szamok relativ gyakorisaganak, illetve a hatvanyhalmaz szamossaganak
kerdesei.
A hatvanyhalmaz szamossaga eseteben kicsit ertetlenul allok a korabban
megadott egy-egy ertelmu lekepezesemet illeto ertetlensegetekkel. Nezzunk
egy kettes szamredszerbeli k szamot.
k = k.0*2^0 + k.1*2^1 + ... + k.i*2^i + .... + k.n*2^n =
= szumma [0<=i<=n] ( k.i * 2^i )
Tehat k egy termeszetes szam, amelynek binaris felirasa egy n+1 jegyu
szamot ad. A felirasban k.0, .. k.i, ... k.n szamjegyek lehetnek nullak
vagy egyesek. A kitevokben szereplo 0,1,...i,...n szamok pedig a
helyiertekek sorszamai. Azokbol a helyiertek-sorszamokbol, amelyhez tartozo
szamjegy egyes, egy termeszetes szamokbol allo halmaz kepezheto, amely a
termeszetes szamoknak egy reszhalmaza.
H.k = { i : k.i = 1 } Tehat a k termeszetes szam binaris szamjegyei altal
meghatarozott altal meghatarozott reszhalmaz hatvanyhalmazbeli sorszama k.
A hozzarendeles egyertelmu. Ugyanez forditott iranyban is igaz, tehat a
termeszetes szamok tetszoleges veges reszhalmazahoz hozzarendelhetunk
egyetlen egy k termeszetes szamot, ha a reszhalmazbeli szamokat a k szam
egyes erteku szamjegyeinek helyiertekekent ertelmezuk. A termeszetes szamok
binaris szamjegyei minden lehetseges veges kombinacioban elofordulnak, igy
a hozzajuk rendelt halmazok megfelelnek a termeszetes szamok hatvanyhalmaza
minden lehetseges veges szamossagu elemenek.
Az egyetlen, de mindenkeppen tisztazando kerdes a vegtelen szamossagu
reszhalmazok lekepezesenek kerdeskore maradt , de ez a kerdes alapvetoen
fuggetlen a lekepezes konstrukciojanak leirasatol, erthetosegetol,
lehetetlensegetol. Bar kerestem, de nem talaltam meg a sejtett
elllenmondasokat Cantor tetelenek bizonyitasaban, igy vegul rajottem, hogy
a kerdes megkozeliteseben van kozottunk kulonbseg. Cantor termeszetesnek
vette, hogy a reszhalmazok vegtelen szamossaguak is lehetnek, mig en a
veges szamossagu reszhalmazokat szamlaltam meg. A Cantor bizonyitas
helyessege, es az en megszamlalasom igy valojaban fuggetlen egymastol.
Valojaban mindket megkozelites realis, elfogadhato, es megvan a maga
letjogosultsaga az adott helyen. Annyi azonban bizonyos, hogy az en
megkozelitesemmel nem talakozni a halmazelmeletben, tehat ez egy letezo
hianyossagra bukkantam ra.
A megszamlalhatoan vegtelen halmazokbol a hatvanyhalmazok ket kulonbozo
osztalyat kepezhetjuk. A veges reszhalmazaibol kepzett megszamlalhato
szamossagu hatvanyhalmazt (nevezhetjuk nyitott hatvanyhalmaznak), es a
vegtelen szamossagu reszhalmazokbol kepzett megszamlalhatatlan szamossagu
hatvanyhalmazt (nevezhetjuk zart hatvanyhalmaznak). Az effajta
veges/vegtelen megkulonboztetes a kulonfele matematikai strukturakban
egyaltalaban nem szokatlan, es csak csodalkozni lehet, hogy a
hatvanyhalmazokkal kapcsolatosan ez meg nem tortent meg. Azon se lehet
csodalkozni, hogy ezen a szuz teruleten meglehetosen nagy bizonytalansagot
mutatnak az erveleseim.
A veges/vegtelen kerdes mar a legosibb matematikai fogalmunknal, a
termeszetes szamoknal is felmerul. Ha a termeszetes szamokrol beszelunk,
akkor mindig veges szamokra gondolunk, jolehet veges termeszetes szambol
vegtelen sok van. A termeszetes szamokrol szolo tetelek altalaban igy
kezdodnek; "vegyunk egy tetszoleges n termeszetes szamot ...", es ekkor
mindig egy veges szamot ertunk ez alatt. Ez a veges esetre szukites nem is
annyira magatol ertetodo, megha veges tartomanyokban letoltott eletunk
tapasztalatai nem nagyon kenyszeritenek kilepni innen. Kezdhetnenk egy
tetelt igy is; "vegyunk egy vegtelen nagy termeszetes szamot ...", hiszen
ha vegtelen sok terneszetes szam van, akkor vegtelen nagy szam ertelmezese
sem okozhatna gondot. Ez esetben megsem terjedt el ez a megkulonboztetes.
Az elso ilyen megkulonboztetesre az irracionalis szamok felfedezesevel
kerult sor, amikor kiderult, hogy veges szamok hanyadosaival nem
abrazolhato minden tavolsagarany. Ezt kovetoen konkret ertelmet kapott
vegtelen tizedes tortek fogalma az irracionalis szamok abrazolasa kapcsan,
pedig lehetoseg van az egesz szamok vegtelenre valo kiterjesztesevel is
kozvetlenul eljutni az irracionalis szamokhoz. Ugyanis amig a veges egesz
szamok hanyadosaival a racionalis szamokhoz jutunk, ugy a vegtelen egesz
szamok hanyadosaibol lesznek az irracionalisok. Vagyis az egesz szamoknak
is ketfele osztalyaval szamolhatunk. A hagyomanyos veges szamok
megszamlalhatoan vegtelen nyilt halmazaval, es a vegtelen egesz szamokat is
szamba vevo megszamlalhatatlanul vegtelen zart halmazaval. Ez utobbi azert
zart, mert hevenyeszett definicioja szerint nincs ezen a halmazon kivuli
egesz szam. Az egesz szamok eme osztalyaibol is leszarmaztathato az ossze
tobbi szamtest. A helyiertekes szamabrazolasban magatol ertetodonek
tartjuk, hogy a tortek szamjegyei vegtelen sorozatot alkothatnak,
ugyanakkor ertetlenul allunk az egesz resz szamjegyeinek vegtelensege
elott. Pedig a pozitiv helyiertekek iranya ugyanugy kiterjesztheto
vegtelenre, mint a negativ helyiertekeke. A szamossag kerdese is hasonloan
alakul a ket iranyban. A veges szamjegyuek megszamlalhatoak, a vegtelenek
megszamlalhatatlanok. A hatvanyhalmazok megszamlalhatoan vegtelenre
korlatozott esetevel nem foglalkoztak eddig, pedig gyakorlati szamitasok
celjaira sokkal inkabb hasznalhato, mint a megszamlalhatatlan eset. Az az
allitas pedig nyilvanvaloan ertelmetlen, hogy nincsenek ilyen esetek, vagy
lehetetlen megkulonboztetni a veges, vagy vegtelen reszhalmazok
hatvanyhalmazanak eseteit.
Udv: Takacs Feri
|